空间向量
概念与运算
空间向量：在空间中，具有大小和方向的量，用有向线段表示。
零向量：长度为0的向量，方向任意。
单位向量：模为1的向量。
相等向量：方向相同且模相等。
相反向量：模相等，方向相反。
向量的加法：三角形法则、平行四边形法则；满足交换律、结合律。
向量的减法：a - b = a + (-b)。
数乘向量：λa，λ>0时与a同向，λ<0时反向；满足分配律、结合律。
共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b ⇔ 存在唯一实数λ使a=λb。
共面向量定理：两个不共线的向量a,b，则向量p与a,b共面 ⇔ 存在唯一实数对(x,y)使p=xa+yb。
数量积
夹角：两向量a,b的夹角记为〈a,b〉，范围[0,π]。
数量积定义：a·b = |a||b|cos〈a,b〉。
几何意义：a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积。
运算律：交换律、分配律、(λa)·b = λ(a·b)。
性质：a·a = |a|²；a⊥b ⇔ a·b = 0。
模长公式：|a| = √(a·a)。
夹角公式：cos〈a,b〉 = (a·b) / (|a||b|)。
坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中，取与x,y,z轴同向的单位向量i,j,k作为基底。
对任意向量a，存在唯一有序实数对(x,y,z)使a = xi + yj + zk，(x,y,z)称为a的坐标。
设a=(x₁,y₁,z₁)，b=(x₂,y₂,z₂)，则：
a±b = (x₁±x₂, y₁±y₂, z₁±z₂)；
λa = (λx₁, λy₁, λz₁)；
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂；
|a| = √(x₁²+y₁²+z₁²)；
cos〈a,b〉 = (x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂) / (√(x₁²+y₁²+z₁²)·√(x₂²+y₂²+z₂²))。
夹角与距离
两点距离：A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，则 |AB| = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]。
点到直线的距离：设点P，直线l方向向量为u，点A在l上，则距离 d = |AP × u| / |u|。
点到平面的距离：设点P，平面α法向量为n，点A在α上，则距离 d = |AP·n| / |n|。
异面直线距离：设两直线方向向量分别为u,v，公垂线段方向与u,v均垂直，用向量法可求。
立体几何中的向量方法
方向向量与法向量
方向向量：与直线平行的非零向量。
法向量：与平面垂直的非零向量。平面的法向量不唯一，但方向相同或相反。
求法向量的常用方法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内两个不共线向量垂直（点积为0）列出方程组，取一组非零解。
证明平行与垂直
线线平行：方向向量共线。
线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线不在平面内。
面面平行：两个平面的法向量共线。
线线垂直：方向向量的数量积为0。
线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线。
面面垂直：两个平面的法向量数量积为0。
求角
两条异面直线所成的角θ：设方向向量为u,v，则 cosθ = |u·v|/(|u||v|) (0<θ≤π/2)。
直线与平面所成的角θ：设直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则 sinθ = |u·n|/(|u||n|) (0≤θ≤π/2)。
二面角的平面角θ：设两个平面的法向量分别为n₁,n₂，则 cosθ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) 或取其补角，需根据图形判断。
求距离
点到平面的距离：如上节公式。
直线到平面的距离（线面平行）：转化为直线上一点到平面的距离。
平行平面间的距离：转化为一个平面上一点到另一平面的距离。
异面直线的距离：转化为公垂线段长度，可用向量法：设两直线方向向量u,v，求同时垂直于u,v的向量n（可取n=u×v），再取两直线上各一点构成的向量在n上的投影长度。
直线与圆的方程
直线方程形式
点斜式：y - y₀ = k(x - x₀)（斜率k存在）。
斜截式：y = kx + b。
两点式：(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)（x₁≠x₂, y₁≠y₂）。
截距式：x/a + y/b = 1（a,b为截距，不为0）。
一般式：Ax + By + C = 0（A,B不同时为0）。
参数式：{x = x₀ + t·cosα, y = y₀ + t·sinα}（t为参数，α为倾斜角）。
两条直线的位置关系
设直线l₁: A₁x+B₁y+C₁=0，l₂: A₂x+B₂y+C₂=0。
平行：A₁B₂ = A₂B₁ 且 B₁C₂ ≠ B₂C₁（或 A₁C₂ ≠ A₂C₁）。
垂直：A₁A₂ + B₁B₂ = 0。
相交：联立方程组有唯一解。
夹角公式：tanθ = |(k₂ - k₁)/(1 + k₁k₂)|（k₁k₂≠-1），或直接用方向向量。
距离公式
两点间距离：|P₁P₂| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]。
点到直线的距离：点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离 d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²)。
两平行线距离：l₁: Ax+By+C₁=0，l₂: Ax+By+C₂=0，则 d = |C₁ - C₂| / √(A²+B²)。
圆的方程
标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，圆心(a,b)，半径r>0。
一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D²+E²-4F>0)，圆心(-D/2, -E/2)，半径 r = ½√(D²+E²-4F)。
直径式：(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0，其中A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)为直径端点。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆：圆心到直线的距离d与半径r比较。
d
圆与圆：圆心距d与两半径r₁,r₂关系。
d>r₁+r₂ ⇔ 外离；d=r₁+r₂ ⇔ 外切；|r₁-r₂|
圆锥曲线
椭圆
定义：平面内到两个定点F₁,F₂的距离之和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹。
标准方程：焦点在x轴：x²/a² + y²/b² = 1 (a>b>0)，焦点(±c,0)，c²=a²-b²；
焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1 (a>b>0)，焦点(0,±c)，c²=a²-b²。
范围：-a≤x≤a, -b≤y≤b（焦点在x轴）。
对称性：关于x轴、y轴、原点对称。
顶点：(±a,0), (0,±b)。
离心率：e = c/a (0
双曲线
定义：平面内到两个定点F₁,F₂的距离之差的绝对值等于常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹。
标准方程：焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1 (a>0,b>0)，焦点(±c,0)，c²=a²+b²；
焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1 (a>0,b>0)，焦点(0,±c)，c²=a²+b²。
范围：|x|≥a（焦点在x轴）。
对称性：关于x轴、y轴、原点对称。
顶点：(±a,0)（焦点在x轴）。
渐近线：焦点在x轴：y = ±(b/a)x；焦点在y轴：y = ±(a/b)x。
离心率：e = c/a (e>1)，e越大开口越大。
通径：2b²/a。
抛物线
定义：平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
标准方程：
开口向右：y² = 2px (p>0)，焦点(p/2,0)，准线 x = -p/2；
开口向左：y² = -2px (p>0)，焦点(-p/2,0)，准线 x = p/2；
开口向上：x² = 2py (p>0)，焦点(0,p/2)，准线 y = -p/2；
开口向下：x² = -2py (p>0)，焦点(0,-p/2)，准线 y = p/2。
范围、对称性：根据开口方向确定。
离心率：e = 1。
通径：2p。
直线与圆锥曲线
位置关系：联立直线与圆锥曲线方程，消元得一元二次方程，判别式Δ判定：
Δ>0 ⇔ 相交（两个交点）；Δ=0 ⇔ 相切；Δ<0 ⇔ 相离。
弦长公式：设直线斜率为k，与曲线交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则 |AB| = √[(1+k²)((x₁+x₂)²-4x₁x₂)]。
中点弦问题：常用点差法求斜率。
焦点弦：过焦点的弦，有特殊性质（如抛物线焦点弦长 = x₁+x₂+p）。